由函数值域的求法探讨建构知识网络的重要意义

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摘 要：本文只要从函数值域求法的归纳总结开始入手，运用数学教育心理学的知识，即构建主义的学习观、教学观及对数学教育的启示，来探讨建构知识网络的重要意义，引发我们对教法、学法的思考。
【关键词】：函数值域；求法；建构主义；知识网络；启示
　　
　　众所周知，函数这一部分的相关内容在中学数学中占有举足轻重的地位。从中考、高考的试卷题型分布来看，函数知识占的分值比例大；从培养学生的数学思维方式来看，用函数的观点看待问题与解决问题对学生的认识发展也是相当重要的。因此，学好函数是学好数学的重要部分。在此，我将对函数三要素之一的值域的求法做相关归纳、总结。运用高中数学知识，函数值域的求法大致可以分为九大类型：（1）配方法（2）换元法（3）判别式法（4）反函数法（5）数形结合法（ ）函数有界性法（1）单调性法（8）不等式法（9）导数法。
　　配方法――二次函数（二次函数在给定区间上的最值有两类：一是求闭区间[m,n]上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系）
　　例1：求函数y=x2-2x+5,x[-1,2]的值域。（答案：[4,8]）
　　例2：当x(0,2]时，函数f(x)=ax2+4(a+1)x-3在x=2时取得最大值，则a的取值范围是------（答案：a-1/2）
　　（二）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，运用换元法时，要特别注意新元t的范围
　　 例3：求y=2x+1+的值域。（答案：(3,+)）
　　（三）判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次的）都可通 用，将函数化为关于某个变元的二次函数形式，再利用二次函数的判别式，注意对二次项是否为零的讨论。
　　例4：求y=3/2+x2的值域。（答案：(0,3/2]）
　　（四）反函数法――当直接求函数的值域不好求时，可以转化为求其反函数的定义域
　　（五）数形结合法――函数解析式具有某种明显的几何意义，如两点的距离，直线的斜率等等
　　例5：已知点P(x,y)在圆x2+y2=1上，求y/(x+2）及y-2x的取值范围。（答案：）
　　（六）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性
　　（七）单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性
　　（八）不等式法――利用基本不等式(a,bR*)求函数的最值，其题型特征，当解析式是和式时要求积为定值，当解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项及两边平方等技巧。
　　（九）导数法――一般适用于高次多项式函数
　　例 ：求函数f(x)=2x3+4x2-40x,x[-3,3]的最小值。（答案：-48）
　　以上既为函数值域的九种求法，从上述总结的内容来看，我们知道这并不是在学习函数值域时就将它们全部介绍给学生的，而是在学生不断深入的学习中，按照学生的接受能力，一部分一部分慢慢引进的，这一过程就涉及了数学教育心理学建构主义的相关内容。
　　建构主义是认知主义的进一步发展，皮亚杰可以看成是建构主义在现代的直接先驱，布鲁纳也对建构主义的发展起到重要的推动作用。皮亚杰认为，学习是一种能动的建构过程。在他看来，学习并不是个体积累越来越多的外部信息，而是学到越来越多的有关他们认识事物的程序，即建构了新的认知结构。在学习过程中，已有认知结构和主体对建构过程的积极参与非常重要。布鲁纳认为，学习包括三个几乎同时发生的过程：习得新知识、转化、评价，他指出，学生不是被动的知识接受者，而是主动的信息加工者。即建构主义强调“学生是学习的主体。”
　　当今建构主义学习观是皮亚杰和布鲁纳的学习观的进一步发展。认为（1）学习是学习者主动地建构内部心理表征的过程；（2）学习过程是一个双向建构的活动过程；（3）学习者已有的发展水平是学习的决定因素。既然有了学习观，那么与之相对应的建构主义的教学观是（1）认知灵活性理论和随机通达教学；（2）自上而下的教学设计及知识结构的网络概念；（3）情景性教学；（4）支架式教学。由此，建构主义对数学教育的启示是（1）充分尊重学生在教学中的主体地位；（2）对数学教学任务的全面理解；（3）强调打好数学基础的重要性；（4）重视与学生的生活实际、社会环境相联系，但必须注意数学本身的特点；（5）给学生的数学学习以适度的指导。
　　建构主义给我们的数学教育尤其是学法、教法带来无限的启发与思考，联系之前介绍的函数值域的求法，作为教育者，我们一定要把握住学生的已有认知结构，注意循序渐进，强调知识的自然生成，引导学生建构知识网络；而作为学习者，我们一定要跟进老师的步伐，理解接受老师教给的新知识，之后所要做的就是不断地内化，与已学知识联系上，在脑海里形成主枝干脉络清晰的知识网络。只有做到了脑海中脉络清楚，在遇到问题时，我们才能迅速作出反应，选择出最适合解决这类问题的方法。学数学最重要的是培养数学思维品质，数学思维具有广阔性，灵活性，深刻性，批判性，目的性，创造性。但是这些思维的形成并不是一蹴而就的，而是建立在我们脑海中将已学知识建构成系统的知识网络的基础之上的。设想，如果我们对学习了的东西都不太清楚，脑袋里一团浆糊，我们如何能有更深入的思考与拓展呢？有了量的积累才会出现质的飞跃。
　　因此，建构知识网络无论是对已学知识的整体掌握，还是对数学思维的培养都具有重要的意义。最后，希望笔者的这些认识能给读者带来启发，不足之处还请多多见谅！
　　参考文献:
　　[1]《数学教育心理学》曹才翰、章建跃. 第一章第三节.
　　[2]《中学数学教育论》濮安山等 第一百七十三页.
            
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