数学教师应该有什么样的数学观

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《湖南教育》2011年11月下旬刊“教学沙龙”栏目谈数学教师的数学观，引发笔者对时下小学数学教学的感慨。
　　 众所周知，这轮课改，受建构主义影响深远，导致几乎所有的小学数学课堂都充满“情境、合作、对话、自主探究”的味道。
　　 建构主义认为，知识不是通过教师传授得到，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得。基于此，建构主义学习理论认为“情境”、“协作”、“会话”和“意义建构”是学习环境中的四大要素或四大属性。
　　 情境：学习环境中的情境必须有利于学生对所学内容的意义建构。也就是说，在建构主义学习环境下，教学设计不仅要考虑教学目标分析，还要考虑有利于学生建构意义的情境的创设问题，并把情境创设看做是教学设计的最重要内容之一。
　　 协作：协作发生在学习过程的始终。协作对学习资料的搜集与分析、假设的提出与验证、学习成果的评价直至意义的最终建构均有重要作用。
　　 会话：会话是协作过程中不可缺少的环节。学习小组成员之间必须通过会话商讨如何完成规定的学习任务。此外，协作学习过程也是会话过程，在此过程中，每个学习者的思维成果（智慧）为整个学习群体所共享，因此会话是达到意义建构的重要手段之一。
　　 意义建构：这是整个学习过程的最终目标。所要建构的意义是指事物的性质、规律以及事物之间的内在联系。在学习过程中帮助学生建构意义，就是要帮助学生对当前学习内容所反映的事物的性质、规律以及该事物与其他事物之间的内在联系有较深刻的理解。这种理解在大脑中的长期存储形式就是关于当前所学内容的认知结构。
　　 由以上所述的“学习”的含义可知，建构主义认为，学生获得知识的多少取决于学习者根据自身经验去建构有关知识的意义的能力，而不取决于学习者记忆和背诵教师讲授内容的能力。
　　 正是建构主义这些要素的影响，产生了如今的大多数热闹的数学课堂。一定意义上说，建构主义对于尊重学生，发挥学生自主学习的能动性有很大的帮助。然而，建构主义并不是放之所有学科皆准的，数学即是其一。
　　 数学有其特有的性质，这些性质理论上决定了学生难以甚至不可能自我建构出数学知识，更别说数学思想方法了。
　　 数学是抽象的。这里我们所谈的抽象有两种含义：（1）我们不容易想象（或意想不到）的事情；（2）我们雅法体验到（或与现实脱节）的事情。既然雅法体验和想象到，我们当然建构不出来。
　　 数学是研究事物的量和形的。任一事物必有量和形，这样，两种事物如有相同的量和形，便可用相同的数学方法，因而数学必然也必须抽象。
　　 数学是如何抽象的？举个简单的例子。设想有一条很长很长的绳子，恰好可绕地球赤道一周。如果把绳子再接长15米后，绕着赤道一周悬在空中（如果能做到的话），那么一个身高2米39以下的人，可从绳子下自由穿过！你能想象得出吗？
　　
　　 设地球半径为R，则绳子原长为2?仔R。当绳子长为2?仔R+15时，绳子所围圆周的半径是（2?仔R+15）÷（2?仔）≈R+2.39（米）。
　　 于是，绳子可围成一个与地球相距（即绳子围成的圆圈的半径与地球半径之差）2.39米的大圆圈。
　　 这个事实单凭经验去想象，是雅论如何都想不通的：地球半径那么大，而绳子仅仅接长15米，绳子居然处处离地球2米以上。然而严谨的数学计算告诉我们，这是千真万确的！（可谁又能亲手去试验一下？)
　　 从数学上，我们可以这样解释上述现象：如果R值增加x，则周长=2?仔（R+x）=2?仔R+2?仔x。因此，周长的增量?驻=2?仔x，这是一个与地球半径R雅关的值。由x=可知，即使?驻很小（相对于地球半径R），比如?驻取上述值15米，也可以使x比较大（2.39米相对于人的身高）。
　　 这就是数学的抽象性。概而言之，就是说，数学能用几个符号和算式，解释种种难以想象的事实。正因为数学的抽象人们难以体会，因而必须由教师将它形象化之后，才能为学生所接受。
　　 也因为如此，老师们应该改变这轮课改中形成的对数学的认识。数学不是凭学生一己之力或者是几个学生谈论可以想出来的。凡属种种想当然的理论，我们都应该理性看待，应该有正确的认识。
　　 我们应该有什么样的数学观呢？除了上述抽象性外，数学还是和谐的，和谐性是数学的特征之一。和谐即雅致、严谨或形式结构的雅矛盾性。
　　 数学的严谨自然流露出它的和谐。为了追求严谨与和谐，数学家们一直在努力，以消除其中的不和谐的东西――比如悖论，它是指一个自相矛盾、对广泛认同的见解的一个反例、一种误解，或看似正确的错误命题及看似错误的正确命题。最著名的例子，当然是雅理数的产生。古希腊的毕达哥拉斯学派认为：宇宙间一切现象都能归结为整数或整数之比。但毕达哥拉斯定理(即勾股定理)的发现，使当时的人们在数的认识上产生了疑惑：两条直角边都是1的直角三角形，其斜边长是几？
　　 依照毕达哥拉斯学派的观点，设斜边长为(既约分数），则m，n中有一个为奇数。由毕达哥拉斯定理，12+12=，故m2=2n2是偶数，则m必为偶数，因而n是奇数。设m=2p，则4p2=2n2，故n2=2p2，从而n是偶数，矛盾!
　　 数学的严谨性可以使我们老师在课堂上，对学生得出的数学结论不模棱两可。对就是对，错了就错了。
　　 有了以上两个认识，我们的数学课堂才能维持数学味，才能真正提升学生的数学素养。
　　（作者单位：衡阳市第二实验小学）
　　
               
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