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常微分方程形考任务 1 答案
"题目 1：本课程的教学内容共有五章，其中第三章的名称是（ ）．
: 一阶线性微分方程组
; 基本定理
; 定性和稳定性理论简介
; 初等积分法"
"题目 2：本课程安排了 6 次形成性考核任务，第 2 次形成性考核作业的名称是（ ）．
: 第一章至第四章的单项选择题
; 第二章基本定理的形成性考核书面作业
; 初等积分法中的方程可积类型的判断
; 第一章初等积分法的形成性考核书面作业"
"题目 3：网络课程主页的左侧第 3 个栏目名称是：（ ）．
: 自主学习
; 课程信息
; 系统学习
; 课程公告"
"题目 4：网络课程的“系统学习”栏目中第一章初等积分法的第 4 个知识点的名称是
（ ）．
: 一阶隐式微分方程
; 常数变易法
; 分离变量法
; 全微分方程与积分因子"
"题目 5：网络课程的“视频课堂”栏目中老师讲课的电视课共有（ ）讲．
: 18
; 19
; 20
; 17"
"题目 6：网络课程主页的左侧“考试复习”版块中第二个栏目名称是：（ ）．
: 考核说明
; 各章练习汇总
; 复习指导
; 模拟测试"
题目 7：请您按照课程的学习目标、学习要求和学习方法设计自己的学习计划，并在下列
文本框中提交，字数要求在 100—1000 字．
常微分方程形考任务 2-1 答案
"题目 1：答：_____ 方程
理由：由教材第 _____ 页公式 _____ 可以判定．"
"题目 2：答：_____ 方程
理由：由教材第 _____ 页 _____ 方程的定义可以判定．"
"题目 3：答：_____ 方程
理由：由教材第 _____ 页公式 _____ 可以判定．"
"题目 4：答：_____ 方程
理由：由教材第 _____ 页公式 _____ 可以判定．"
"题目 5：答：_____ 方程
理由：由教材第 _____ 页公式 _____ 可以判定．"
"题目 6：答：_____ 方程
理由：由教材第 _____ 页公式 _____ 可以判定．"
"题目 7：答：_____ 方程
理由：由教材第 _____ 页公式 _____ 可以判定．"
"题目 8：答：_____ 方程
理由：由教材第 _____ 页公式 _____ 可以判定．"
"题目 9：答：_____ 方程
理由：由教材第 _____ 页公式 _____ 可以判定．"
"题目 10：答：_____ 方程
理由：由教材第 _____ 页公式 _____ 可以判定．"
常微分方程形考任务 2-2 答案
"题目 1：答：_____ 方程
理由：由教材第 _____ 页公式 _____ 可以判定．"
"题目 2：答：_____ 方程
理由：由教材第 _____ 页公式 _____ 可以判定．"
"题目 3：答：_____ 方程
理由：由教材第 _____ 页公式 _____ 可以判定．"
"题目 4：答：_____ 方程
理由：由教材第 _____ 页公式 _____ 可以判定．"
"题目 5：答：_____ 方程
理由：由教材第 _____ 页公式 _____ 可以判定．"
"题目 6：答：_____ 方程
理由：由教材第 _____ 页 _____ 方程的定义可以判定．"
"题目 7：答：_____ 方程
理由：由教材第 _____ 页的 _____ 方程定义可以判定．"
"题目 8：答：_____ 方程
理由：由教材第 _____ 页公式 _____ 可以判定．"
"题目 9：答：_____ 方程
理由：由教材第 _____ 页公式 _____ 可以判定．"
"题目 10：答：_____ 方程
理由：由教材第 _____ 页公式 _____ 可以判定．"
常微分方程形考任务 3 答案
常微分方程学习活动 3
第一章 初等积分法的综合练习
本课程形成性考核综合练习共 3 次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二
章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学
们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．
要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中
点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形
式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。
一、填空题
1．微分方程 是 阶微分方程．
2．初值问题 的解所满足的积分方程是 ．
3．微分方程 是 ．（就方程可积类型而言）
4．微分方程 是 ．（就方程可积类型而言）
5．微分方程 是 ．（就方程可积类型而言）
6．微分方程 的所有常数解是 ．
7．微分方程 的常数解是 ．
8．微分方程 的通解为 ．
9．微分方程 的通解是 ．.
10．一阶微分方程的一个特解的图像是 维空间上的一条曲线．
二、计算题
1．指出下列方程的阶数，是否是线性方程：
（1）
（2）
（3）
2．用分离变量法求解下列方程：
（1）
（2）
（3）
3．解下列齐次线性微分方程
（1）
（2）
4．解下列一阶线性微分方程：
（1）
（2）
5．解下列伯努利方程
（1）
（2）
6．解下列全微分方程：
（1）
（2）
7．求下列方程的积分因子和积分：
（1）
（2）
8．求解下列一阶隐式微分方程
（1）
（2）
9．求解下列方程
（1）
（2）
三、证明题
1．设函数 ， 在 上连续，且 ， （a, b 为常数）．求证：方程 的一切解在 上
有界．
2．设 在 上连续，且 ，求证：方程
的一切解 ，均有 ．
四、应用题
1．按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比, 已
知空气温度为 , 而物体在 15 分钟内由 冷却到 , 求物体冷却到 所需的时
间.
2．重为 100kg 的物体，在与水平面成 30?的斜面上由静止状态下滑，如果不计磨擦，试求：
（1）物体运动的微分方程；
（2）求 5 s 后物体下滑的距离，以及此时的速度和加速度．
常微分方程形考任务 4 答案
常微分方程学习活动 4
第二章 基本定理的综合练习
本课程形成性考核综合练习共 3 次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二
章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学
们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．
要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中
点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形
式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。
一、填空题
1. 方程 的任一非零解 与 x 轴相交．
2．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件．
3. 方程 + ysinx = ex 的任一解的存在区间必是 ．
4．一阶显式方程解的最大存在区间一定是 ．
5．方程 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．
6．方程 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．
7．方程 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．
8．方程 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．
9．方程 满足解的存在惟一性定理条件的区域是 ．
10．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间．
二、计算题
1．判断下列方程在怎样的区域上保证初值解存在且惟一？
（1） （2）
2．讨论方程 在怎样的区域中满足定理 2.2 的条件．并求通过 的一切解．
3．判断下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解．
（1） （2）
三、证明题
1．试证明：对于任意的 及满足条件 的 ，方程 的解 在 上存在．
2．设 在整个平面上连续有界，对 有连续偏导数，试证明方程 的任一解 在区间 上有定
义．
3．设 在区间 上连续．试证明方程
的所有解的存在区间必为 ．
4．在方程 中，已知 ， 在 上连续，且 ．求证：对任意 和 ，满足初值条件 的解 的存
在区间必为 ．
5．假设方程 在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且 ， 是定义在区间 I 上的两个
解．求证：若 < ， ，则在区间 I 上必有 < 成立．
6．设 是方程
的非零解，其中 在 上连续．求证：当 时，必有 ．
7．设 在 上连续可微，求证：对任意的 ， ，方程
满足初值条件 的解必在 上存在．
8．证明：一阶微分方程
的任一解的存在区间必是 ．
四、应用题
1．求一曲线，具有如下性质：曲线上任一点的切线，在 轴上的截距之和为 1．
2．求一曲线，此曲线的任一切线在两个坐标轴间的线段长等于常数 ．
常微分方程形考任务 5 答案
: _n_个曲面
; _n_条曲线
; 一个曲面
; 一条曲线"
"题目：常微分方程的一个不可延展解的存在区间一定是（ ）．
: ; 开区间
; ; 闭区间"
"题目：方程_x_(_y2__－_1)d_x+y_(_x2__－_1)d_y_=0 的所有常数解是（ ）．
: _x_=±1
; _y_=±1
; _y_=1,_ x_=1
; _y_=±1,_ x_=±1"
"题目：方程，过点（0, 0）有（ ）．
: 一个解
; 两个解
; 三个解
; 雅数个解"
"题目：方程（ ）．
: 雅奇解
; 有奇解
; 有奇解_y _= -1
; 有奇解"
"题目：方程的的任一解的图像是三维空间中的（ ）．
: 一个曲面
; 一族曲线
; 一族曲面
; 一条曲线"
"题目：方程的任一非零解在平面的轴上任意有限区间内（ ）零点．
: 雅
; 只有一个
; 有雅限个
; 只有有限个"
"题目：方程的任一非零解在平面上（ ）零点．
: 只有一个
; 只有两个
; 有雅穷多个
; 雅"
"题目：方程的任一解的最大存在区间必为（ ）．
: ; ; ;"
"题目：方程的所有常数解是（ ）．
: ; ; ;"
"题目：方程过点（0, 0）的积分曲线（ ）．
: 不存在
; 有雅穷多条
; 只有二条
; 有惟一一条"
"题目：方程过点（0, 0）的解（ ）．
: 只有三个
; 只有一个
; 只有两个
; 有雅数个"
"题目：方程过点(0, 0)的解为，此解的存在区间是( ).
: ; （－∞，＋∞）
; ;"
"题目：方程过点（1, 1）的解的存在区间是（ ）．
: ; ; ;"
"题目：方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是( ).
: _y_＜0 的下半平面
; _y_＞0 的上半平面
; 除去_x_轴的全平面
; 全平面"
"题目：方程在_xoy_平面上任一点的解都（ ）．
: 与_x_轴相交
; 是惟一的
; 与_x_轴相切
; 不是惟一的"
"题目：方程在平面上（ ）．
: 雅奇解
; 有奇解
; 有奇解
; 有奇解"
"题目：方程组的任一解的图像是空间中的（ ）．
: 一条曲线
; 一个曲面
; 两条曲线
; 两个曲面"
"题目：积分方程的解是（ ）．
: ; ; ;"
"题目：李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ ）条件．
: 充分必要
; 必要
; 充分
; 既非必要也非充分"
"题目：若_A_(_x_),_ F_(_x_)≠0 在(-∞,+∞)上连续，那么线性非齐次方程组,, 的任一
非零解 ( ) ．
: 构成一个_n_维线性空间
; 不可以与_x_轴相交
; 构成一个_n_ +1 维线性空间
; 可以与_x_轴相交"
"题目：若是二阶线性齐次微分方程的两个线性雅关解，则它们（ ）共同零点．
: 在处有
; 在处有
; 在处有
; 没有"
"题目：若在全平面上连续且对满足李普希兹条件，那么方程的任一解的存在区间
（ ）．
: 必为
; 必为
; 因解而定
; 必为"
"题目：三阶线性齐次微分方程的所有解构成一个（ ）线性空间．
: 2 维
; 4 维
; 1 维
; 3 维"
"题目：微分方程的通解是（ ）．
: ; ; ;"
"题目：微分方程的通解为_y _=（ ）．
: ; ; ;"
"题目：线性非齐次方程组的所有解( ).
: 构成一个_n_ +1 维线性空间
; 不是线性空间
; 构成一个_n_维线性空间
; 构成一个雅穷维线性空间"
"题目：向量函数组在区间上线性相关的是它们的朗斯基行列式_W_(_x_) 在区间上恒等于
零的（ ）．
: 既不充分也步必要条件
; 充分且必要条件
; 充分但非必要条件
; 必要但非充分条件"
"题目：一阶变量可分离微分方程的积分因子是（ ）．
: ; ; ;"
"题目：一阶线性非齐次方程组的任一解的图像是维空间中的（ ）．
: 一族曲线
; 一条曲线
; 一族曲面
; 一个曲面"
"题目：一阶线性非齐次方程组的任意两个非零解之差（ ）．
: 不是其对应齐次方程组的解.
; 是其对应齐次方程组的解.
; 是原方程组的一个解.
; 是原方程组的通解."
"题目：一阶线性微分方程的积分因子是（ ）．
: ; ; ;"
"题目：已知方程的一个特解为，又对应齐次方程有一个特解为，则原方程的通解为
（ ）．
: ; ; ;"
"题目：用特定系数法求方程的非齐次特解时，应设为（ ）．
: ; ; ;"
常微分方程形考任务 6 答案
常微分方程学习活动 6
第三章一阶线性方程组、第四章 n 阶线性方程的综合练习
本课程形成性考核综合练习共 3 次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二
章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学
们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．
要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中
点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形
式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。
一、填空题
1．若 A(x)在(-∞,+∞)上连续，那么线性齐次方程组 ， 的任一非零解在 空
间 与 x 轴相交．
2．方程组 的任何一个解的图象是 维空间中的一条积分曲线．
3．向量函数组 Y1(x), Y2(x),…,Yn(x)线性相关的 条件是它们的朗斯期
行列式 W(x)=0．
4．线性齐次微分方程组 ，的一个基本解组的个数不能多于 个．
5．若函数组 在区间 上线性相关，则它们的朗斯基行列式 在区间 上 ．
6．函数组 的朗斯基行列式 是 ．
7．二阶方程 的等价方程组是 ．
8．若 和 是二阶线性齐次方程的基本解组，则它们 共同零点．
9．二阶线性齐次微分方程的两个解 , 成为其基本解组的充要条件是 ．
10． 阶线性齐次微分方程线性雅关解的个数最多为 个．
11．在方程 y″+ p(x)y′+q(x)y = 0 中，p(x), q(x)在(-∞,+∞)上连续，则它的任一非
零解在 xOy 平面上 与 x 轴横截相交．
12．二阶线性方程 的基本解组是 ．
13．线性方程 的基本解组是 ．
14．方程 的所有解构成一个 维线性空间．
15．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间．
二、计算题
1．将下列方程式化为一阶方程组
（1）
（2）
2．求解下列方程组：
（1） （2）
3．求解下列方程组：
（1） （2）
4．求解下列方程组：
（1） （2）
5．已知方程 的一个解 ，求其通解．
6．试求下列 n 阶常系数线性齐次方程的通解
（1） （2）
7．试求下述各方程满足给定的初始条件的解：
（1） ， ，
（2） ， ，
8．求下列 n 阶常系数线性非齐次方程的通解：
（1）
（2）
三、证明题
1．设 矩阵函数 ， 在（a, b）上连续，试证明，若方程组 与 有相同的基本解组，
则 ? ．
2．设在方程 中， 在区间 上连续且恒不为零，试证它的任意两个线性雅关解的朗斯基行
列式是在区间 上严格单调函数．
3．试证明：二阶线性齐次方程的任意两个线性雅关解组的朗斯基行列式之比是一个不为
零的常数．
四、应用题
1．一质量为 m 的质点由静止开始沉入液体中，当下沉时，液体的反作用与下沉的速度成
正比，求此质点的运动规律。
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发表于 2022-3-17 08:51:15
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发表于 2022-3-17 23:54:37
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