随机局部凸模在两种拓扑下的随机共轭空间理论

123456aa · 发表于 2022-4-22 18:05:33

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本文致力于随机局部凸模在两种拓扑下的随机空格空间理论的研究，这两种拓扑分别是$(varepsilon,lambda)$-拓扑和局部$L^{0}$-凸拓扑。首先我们给出了在这两种拓扑下随机局部凸模的四种随机共轭空间的概念，并指出在这四种随机共轭空间中只有两种适应于随机共轭空间理论的研究。子啊这过程中我们还得到一个十分惊讶且重要的结论：设$(E,|cdot|)$是数域K上以$(Omega,mathcal{F},P)$为基的RN-模，若$(Omega,mathcal{F},P)$是无原子的概率空间，则$(E,|cdot|)$在局部$L^{0}$-凸拓扑下是完全不连通的拓扑空间。然后，我们给出关于$L^{0}-$线性函数的Hahn-Banach扩张定理的几何形式，并利用这个几何形式给出了一个熟知的随机局部凸模中基本严格分离定理的一个新的证明。作为这个分离定理的应用，我们在两种拓扑下建立了随机赋范模中的Goldstine-Weston稠密性定理；最后，我们利用$(varepsilon,lambda)$-拓扑和局部$L^{0}$-凸拓扑各自的优点，证明了在$(varepsilon,lambda)$-拓扑下完备的随机赋范模是随机次自反的。进一步，在局部$L^{0}$-凸拓扑下，我们证明了完备且极有可数连接性质的随机赋范模也是随机次自反的，同时我们还举出反例表明随机赋范模具有可数连接性质这一条件是必要的。本文分五章：第一章，简要介绍随机度量理论的发展历史以及本文的主要研究内容；第二章，作为预备知识，回忆随机赋范模，随机局部凸模，随机共轭空间以及$(varepsilon,lambda)$-拓扑和局部$L^{0}$-凸拓扑$(varepsilon,lambda)$-拓扑和局部$L^{0}$-凸拓扑等基本概念；第三章，我们证明了四种随机共轭空间的定义中只有两种适应于随机共轭空间理论的研究；第四章，我们给出关于$L^{0}-$线性函数的Hahn-Banach扩张定理的几何形式，并在两种拓扑下建立了Goldstine-Weston稠密性定理；第五章，我们研究了两种拓扑下完备随机赋范模的随机次自反性。

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