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题目：
雅宝题库答案：
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雅宝题库解析：
流体力学、等离子体和光纤通信中很多非线性现象都可用非线性波动方程来描述。这些方程通常存在一类能量有限的局域解（能量在空间给定区域稳定存在且相互作用后不改变各自特性）——孤子解。对这类方程的孤子解析研究与计算，是非线性科学研究的关键题目之一。计算机符号计算作为人工智能的一个分支，主要研究如何在计算机上表示和处理抽象的符号、设计用于计算机符号计算和推理的解析算法、程序语言和软件，现在作为非线性波动方程的解析研究手段。当考虑到介质的不均匀性和边界条件的不一致性时，变系数非线性波动方程往往比常系数方程能够更好地描述自然界和科学、工程题目中的非线性现象。因此这类模型引起了关注，其中一个研究课题就是如何寻求这类变系数非线性波动方程的解析解（主要是多孤子型解）。基于计算机符号计算，本文研究的流体力学和等离子体中的模型主要有：浅水波中Whitham-Broer-Kaup（WBK）模型、浅水波中的(1+1)维色散长波模型、浅水波中的变系数Boussinesq模型、流体力学和等离子体中的变系数修正Kortweg-de Vries（KdV）模型、非均匀等离子体中的变系数非线性微分Schrödinger模型。这些模型在流体力学和等离子体中刻画非均匀介质中孤波的运动。 本文的主要内容包括以下几个方面：(1) 在常系数非线性波动方程Gauge变换的基础上，研究了流体力学中变系数非线性波动方程的Gauge变换，用于建立不同模型之间的Gauge等价关系；(2) 将构造常系数非线性波动方程的N波Darboux变换进行了推广，使之适用于求解上述流体力学和等离子体中的变系数非线性波动方程；(3) 研究了上述流体力学和等离子体中的变系数非线性波动模型多孤子型解的行列式表示，包括双Wronski行列式和Vandermonde型行列式表示；(4) 研究了利用N波Darboux变换来构造上述流体力学和等离子体中的变系数非线性波动方程双Wronski行列式解的方法，将求解双Wronski行列式解的题目转化为求解线性代数方程组和矩阵微分方程的题目；(5) 分析了上述模型孤子型波的相关流体和等离子体动力学性质,特别是变系数对波传播的影响。本文的主要方法、结论及内容的具体安排如下：一、绪论本文的第一章介绍了孤子的概念和发展历史，流体力学中的若干非线性波方程及研究方法，本文的立论背景和研究内容。二、研究浅水波中WBK模型的多孤子解本文的第二章，利用Gauge变换，获得了与浅水波中WBK模型相联系的三个参数系统，进而给出了势场之间的变换关系。利用中间系统的N波Darboux变换，给出了WBK模型中描述水波速度场和水波振幅的各类多孤子解的解析表达式，包括描述水波速度场和水波振幅的双向孤子解、描述水波速度场和水波振幅的孤子裂变行为、描述水波速度场和水波振幅的孤子弹性-裂变耦合作用、描述水波速度场和水波振幅的孤子复合体相互作用、描述水波速度场和水波振幅的奇数孤子解等。针对不同的解，分别用双Wronski行列式和Vandermonde型行列式来表示。所得结论可以解释流体力学特别是浅水波中的一些实际的波动现象，例如考虑耗散因素时浅水中孤子的迎面和追赶相互作用。三、研究浅水波中的变系数Boussinesq模型的多孤子型解本文的第三章，在变系数函数满足一定约束的条件下，利用Gauge变换，建立了浅水波中变系数Boussinesq模型与变系数Ablowitz-Kaup-Newell-Segur（AKNS）及变系数Broer-Kaup（BK）系统之间的关系，给出了势场之间的变换公式。利用中间系统的N波Darboux变换，获得了变系数Boussinesq模型中描述水波速度场和水波振幅的各类多孤子型解的解析表达式，并将其分别表示为双Wronski行列式和Vandermonde型行列式。通过计算机作图，对所描述水波速度场和水波振幅的孤子型波动的动力学特性进行了讨论，例如描述水波速度场和水波振幅的平行双/三孤子型波、描述水波速度场和水波振幅的孤子迎面相互作用、描述水波速度场和水波振幅的孤子周期裂聚变现象、描述水波速度场和水波振幅的孤子双峰结构等；发现变系数影响描述水波速度场和水波振幅的孤子型波的运动速度。所得结论可以解释变化水深的浅水中波的运动规律并为海岸和海港建设提供一定的参考意义。 四、研究流体力学和等离子体中的变系数修正KdV模型的多孤子型解本文的第四章，直接构造了一个变系数AKNS系统的N波Darboux变换，利用约化技术将其退化为流体力学和等离子体中变系数修正KdV模型的N波Darboux变换，经选取种子解、求解线性代数系统和矩阵微分方程的过程，获得了变系数修正KdV模型多孤子型解的双Wronski行列式表示；最后，对孤子型波的流体和等离子体动力学性质进行了讨论并分析了各个变系数在孤子型波运动过程中所产生的作用, 发现扰动项影响多孤子型波的振幅，速度和轨迹由耗散项和色散项来控制。本章所用的方法为构造流体力学中其他类型变系数非线性模型的N波Darboux变化和双Wronski行列式解提供了一定参考。五、研究非均匀等离子体中的变系数非线性微分Schrödinger模型的多孤子型解本文的第五章，在变系数函数满足一定约束条件下，构造了一个变系数Kaup-Newell型谱题目的N波Darboux变换，利用约化技术将其退化为非均匀等离子体中变系数非线性微分Schrödinger模型的N波Darboux变换。经选取种子解、求解线性代数系统和矩阵微分方程的过程，获得非均匀等离子体中变系数非线性微分Schrödinger模型Alfvén孤子型解的双Wronski行列式表示。对Alfvén孤子型波的等离子体动力学特性进行了讨论，分析了各个非均匀变系数的作用，即，指出了等离子流和非均匀密度函数影响Alfvén孤子型波的振幅、非均匀磁场强度函数影响Alfvén孤子型波的运动速度和传播轨迹；选取的不同复谱参数可以产生Alfvén孤子型波的迎面和追赶相互作用，改变复谱参数的模可以使Alfvén孤子型波的振幅和相对分离距离增加或减少。六、研究浅水波中的(1+1)维色散长波模型的多孤子解本文的第六章，在选取种子解的基础上，分别利用一个AKNS系统和一个BK系统的N波Darboux变换，产生了(1+1)维色散长波方程中描述水波速度场和水波振幅的两类行列式解。利用计算机软件模拟了描述水波速度场和水波振幅的孤子复合体之间的双向相互作用；此外，发现了(1+1)维色散长波方程具有两类形状保持性质，即描述水波表面速度场和水波提升的孤子弹性-聚变耦合相互作用以及孤子弹性-裂变耦合相互作用（相互作用后形成双孤子复合体）。这些结果可以用于说明浅水波的若干传播机制，例如描述水波速度场和水波振幅的孤子复合体之间的迎面及追赶相互作用和孤波之间的非弹性相互作用。 |
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发表于 2022-7-25 10:21:08
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