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题目：
雅宝题库答案：
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雅宝题库解析：
孤子是在流体力学、等离子体、固体力学、光纤通信等领域中的广泛存在的非线性现象。孤子可视做一种相互作用后仍能保持各自的形状、速度不变（或只是一些相位发生改变）的非线性系统中的脉冲状波。为了了解这些非线性现象所反映的力学机制，本文主要借助于符号计算（集成化的计算机符号处理软件和硬件的综合系统）和求解非线性发展方程（是包含一个“时间”变量的数学物理偏微分方程）的方法，如Painlevé性质、Ablowitz-Kaup-Newell-Segur（AKNS）系统、Lax对、Bäcklund变换、Darboux变换、Hirota双线性方法等，对流体力学和等离子体领域中的六种非线性波动模型的可积性质和解析解进行了研究。 第一章介绍了孤波在流体力学和其他领域中发现和发展的过程，孤波的形成机理、存在形式及求解非线性发展方程孤波解常用的方法和理论。 第二章研究了一个充满流体的弹性管中的变系数Korteweg-de Vries (KdV)模型。检测了该模型在Painlevé意义下的可积性，同时构造了该模型的Lax对。基于这个Lax对，求出了该模型的Bäcklund变换和孤波解。进而分析了模型中系数的变化给孤波传播带来的影响：非线性项系数的变化会影响孤波传播的振幅、耗散项系数的变化会影响孤波传播的速度、色散项系数的变化既影响孤波传播的振幅又影响孤波传播的速度。通过对局部狭窄的弹性管中流体的速度和压强进行分析，发现了孤波的传播速度在狭窄的中心部位达到最大值，而压力在狭窄部位的附近达到最小值。最后利用双孤子解分析了孤波相互作用，发现相互作用后，除了相位发生了微小变化外，波形仍保持不变。 第三章研究了一个充满流体的弹性管中的变系数修正KdV (mKdV)模型，介绍了该模型的Painlevé性质，并利用符号计算和AKNS程序构造了该模型的Lax对。然后利用Lax对构造了该模型的Darboux变换和孤子解，并在孤子解的基础上分析了模型的常系数和变系数的变化给孤波传播的波形、速度和传播轨迹带来的影响。发现了非线性项系数和色散项系数的变化既影响孤子传播的振幅又影响孤子传播的速度，耗散项系数的变化会影响孤子传播的速度和传播轨迹。这些结果说明了在充满非粘性流体的弹性管中有可能存在孤波现象。因为非线性项、色散项和耗散项的系数由弹性管材料的性质决定，所以这些结果也揭示了弹性管的材料性质对孤波的振幅、传播速度和传播轨迹有一定的影响。 第四章求得了在流体力学和等离子体力学中的广义变系数mKdV模型通过Painlevé检测的约束条件，并构造了该模型满足这个约束条件的Lax对、Darboux变换和孤波解。利用孤波解，分析了系数变化在孤波传播中起的作用。发现当微扰项系数是时间的一次函数时，孤子的振幅将随着时间增加而减小；耗散项系数是常数时，孤波沿直线传播；耗散项系数是时间的一次函数时，孤波沿着抛物线轨迹传播；色散项系数为周期函数时，孤波传播也呈现出周期性。以上结果揭示了在流体力学和等离子体中若干孤波的传播机制。 第五章研究了一个广义复耦合KdV模型。它的特殊形式可以用来描述流体力学和等离子力学中的非线性长波和具有两个不同色散关系的长波相互作用。通过独立的变量变换把广义复耦合KdV方程转化成它的双线性形式，并得到了孤子解。分析了模型系数的变化对孤子传播带来的影响。通过双孤子解，发现当波数取实数时，两个孤子呈现出明显的弹性相互作用特性：两个孤子能穿过彼此。除了相位发生了微小变化，孤子的传播速度，振幅都保持不变。当波数取复数时，发现了双孤子作用呈现出三种不同的传播轨迹：一、两个孤子先融合再分开，然后再融合再分开，呈周期性的变化规律；二、两个孤子经历了两次融合分开的过程，最终彼此分开；三、两个孤子相互作用后的传播轨迹是波动的，并且沿着作用中心呈现出中心对称的分布规律。 第六章研究了流体力学中的广义(3+1)维Boussinesq模型。应用Painlevé截断将广义(3+1)维Boussinesq方程化成了它的双线性形式，然后得到了该模型的表征流体的自由表面高出水平面的高度的孤子解。研究了系数的变化对孤波传播的影响。发现二阶项系数主要控制孤子的速度，非线性项系数主要影响孤子的振幅，色散项系数既影响孤子的振幅又影响孤子的速度。通过分析双孤子解，发现了两种孤子相互作用：一，相互作用时，两个振幅较小的孤子融合成一个振幅较大的孤子。这个较大的孤子的振幅比两个孤子中的任何一个的振幅都大，但比两个孤子振幅之和要小。相互作用之后，两个孤子的振幅又恢复到相互作用之前的情况；二，两个孤子相互作用时，形成一个孤子，这个孤子的振幅比振幅较小的一个要大，比振幅较大的一个要小，相互作用之后，两个孤子除了相位发生了微小变化外，波形仍旧保持与相互作用之前的状态一致。此外，还得到了两种解析解。以上结果揭示了流体力学中孤波的传播规律及两个孤波相互作用的表现形式。 第七章研究了热磁场中伴有电荷波动的含尘埃等离子体的变系数mKdV模型。利用符号计算和Painlevé检测，找到了该模型通过Painlevé检测的可积条件，并得到了该模型的自-Bäcklund变换和周期解。通过双线性方法，得到了该模型的表征静电势u的孤子解和其它解析解。通过分析孤子解，发现了：一、尘埃等离子声波的振幅与散射项系数与非线性项系数的比值的平方成正比；二、尘埃等离子声波的传播速度由散射项系数和耗散项系数决定；三、尘埃等离子声波的传播轨迹取决与非线性项系数、散射项系数和耗散项系数的具体函数形式。以上结果说明了热磁场中伴有电荷波动的含尘埃等离子体声波的传播规律。 |
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发表于 2022-8-22 16:57:21
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