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题目：
雅宝题库答案：
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雅宝题库解析：
为了满足航空工业日趋苛刻的降噪标准，气动声学所面临的噪声题目越来越复杂。题目的复杂性首先反应在所涉及的几何形体上，因此，数值模拟在保证精度和效率的同时，还要求具有处理复杂几何形体的能力。适用于非结构网格的高阶精度数值离散格式的研究近几年来受到越来越多的关注，被视为计算气动声学发展的必然趋势。间断伽辽金方法(Discontinuous Galerkin method, DG) 无疑是其中最具吸引力的方法之一。它摆脱了对网格的依赖性，既适用于结构网格又适用于非结构网格，适于处理复杂几何形体。方法形式精巧，能够容易的通过提高局部单元或全局的近似精度。相对于高阶有限差分方法，间断伽辽金空间离散在边界条件的处理上思想更加直接和简便。龙格库塔间断伽辽金方法~(Runge-Kutta Discontinuous Galerkin method, RKDG)，是指在空间上采用间断伽辽金离散，时间上采用显式龙格库塔积分的一种全离散方法。它完全继承了DG方法的诸多优点，并融合了显式龙格库塔积分执行简单的特点；因此，RKDG是DG方法应用最为广泛的形式之一。然而，应用研究发现RKDG拥有相对于高阶有限差分方法更加苛刻的数值稳定条件，即Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) 条件。在处理包含不规则几何形体的复杂噪声题目中，近壁区域的网格尺寸与远声场区域的网格尺寸通常相差较大；若采用整场均匀步长的显式龙格库塔积分，时间步长必须由整场的最小网格尺度决定。因此，长时间的积分求解往往需要过大的计算消耗；这一点极大的阻碍了龙格库塔间断伽辽金方法在实际工程预测及学术研究中的应用发展。本论文工作通过对显式龙格库塔间断伽辽金方法进行傅里叶分析，指出了该方法具有相对苛刻的稳定性条件的根本原因；为了实现多时间步长积分策略在复杂气动声学题目的龙格库塔间断伽辽金离散中的应用，发展了一种适用于非均匀网格的非均匀时间步长龙格库塔时间积分方法，能够显著提高显式龙格库塔间断伽辽金方法在复杂题目模拟中的计算效率。该方法允许不同尺寸网格区域根据局部的稳定性条件，采用不同时间步长进行稳定的显式龙格库塔积分，从而减少粗网格上的积分消耗，提高整场计算效率。该方法不引入任何插值处理，在线性题目中可以达到与原积分方法相同高阶精度；并且可与各种典型离散方法相结合应用。针对所发展方法在计算气动声学中的应用，本论文主要从以下四个方面开展了应用基础研究：1通过对迁移模型的RKDG离散开展傅里叶分析，得到了不同精度DG方法数值波数特征根的分布，以及与显式RK积分方法稳定区间印迹的相对位置，找到了方法具有相对苛刻稳定性条件的原因；并确定了计算气动声学中几种常用RKDG格式允许的最大CFL数。此外，还对扩散模型的一种反对称数值通量近似DG离散进行了傅里叶分析，得到了离散的数值特性。2基于p阶显式龙格库塔的一般数学形式，发展了一种针对龙格库塔积分中间阶量的适用于大多数显式龙格库塔积分的耦合积分格式。首先推导得到了常用时间比率2:1情况下的线性耦合公式，并给出了具体执行步骤；并将其推广至任意时间步长比率情况。给出了所得线性耦合公式在流体及气动声学模拟中常用的几种显式龙格库塔方法中的推广。此外，还提供一种基于频散和耗散误差的耦合系数优化方法，以满足计算气动声学中的低频散和低耗散需求。针对所发展方法与非均匀网格上间断伽辽金离散的结合应用，开展了数值稳定性方面的相关分析。一维和二维波传播题目的数值测试验证了方法的有效性和稳定性。3进一步发展了非均匀时间步长龙格库塔方法，使其适用于目前计算气动声学中广泛应用的高阶有限差分离散，包括数学形式的发展和执行策略的改进。针对所发展方法与非均匀网格上典型有限差分离散的结合应用，如频散相关保持格式，开展了数值稳定性方面的分析，以及一维和二维波传播题目的数值实验，验证了方法的可行性和正确性。4在与典型空间离散相结合开展数值验证的同时，通过多时间步长积分与单时间步长积分的计算消耗比较，对所发展方法带来的计算效率收益进行了评估。评估表明，在所测试的涉及复杂几何形体的题目中，所发展多时间步长积分方法相对于单时间步长积分能够节省CPU时间70% 以上，计算效率收益明显。 |
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发表于 2022-8-29 13:01:51
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