随机系统相变的复杂性及动力学研究

admin · 发表于 2024-3-12 10:54:02

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以随机约束满足题目为代表的典型随机系统有着广泛的实际应用背景和基础理论价值，特别是计算复杂性理论中属于NP题目类的随机约束满足题目在计算机科学和数学领域都属于核心基础题目。对上述随机约束满足题目相变现象和机制的研究不仅对现实世界中难解题目计算复杂性的本质成因的探索具有重要意义，而且是解决新千年七大数学难题之一的NP=P?题目的基础理论途径。本文针对随机约束满足题目相变现象和机制这一数学、物理和计算机交叉领域的前沿热点题目，通过逻辑约束归约建模方法、生成元分析方法、cavity分析方法，对随机约束满足题目相变复杂性和动力学特征与解空间组织结构特征之间的关系进行了深入的研究。在对k-SAT题目、Vertex-cover题目和q-color题目对应SpinGlass模型进行特征分类和统计分析的基础上，本文提出了可行的逻辑满足性判定题目转化为布尔方程组满足性的判定题目的归约方法，并建立了一般的混合型布尔方程组题目（MAS）模型。进一步基于概率论中的一阶矩、二阶矩方法和算法理论中的unit-clause方法，给出了MAS模型在不同非线性方程比例$q$条件下的题目满足性阈值上下界估计。通过将MAS模型按照代数性质拆分为XORSAT和MAS-nonlinear两个子题目，本文分析了解空间自平均性质、变量长程锁定传播机制、生成元最低磁化率形式及规模相变过程等解空间组织结构特征，全面给出了解空间分簇相变等一系列非满足性相变的计算方程和机制刻画。基于LeafRemoval和Gaussian Elimination的算法思想，本文构建了以变量消去和重新排序为核心启发式策略的高效完全求解算法，并在计算大量随机实例的基础上首次完整的给出了随机布尔方程组题目的满足性相图。同时，本文还使用统计物理方法得到了反映题目中约束信息传播机制的Warning 和SurveyPropagation算法迭代方程及性质分析，从算法角度验证了上述相变过程及阈值估计。上述结果不仅较为完整的阐释了相变机制与解空间结构特征对应关系的清晰刻画题目，而且作为重要理论突破较为精确严格的论证了相变现象及机制。

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