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【摘 要】在教学过程中，学生常常会犯错，有时这些错误就是一种优质的教学资源，其中包含了大量关于学生的认知特征和已有的经验。教师应积极读懂学生的错误，对于其犯错的原因进行分析，从而补充或改善一些不合理的的教学设计，并对学生及时引导、点化，充分调动学生的探究意识，让学生从错误的认识中去巩固知识、提高能力。
【关 键 词】读懂错误；小数乘法
教师每天在教学和批改作业的过程中，会遇到很多学生的错误，这些错误往往可以反映教师教学的问题或学生认知的特征，所以应该重视学生的错误，并合理利用。但在利用错误之前，如何分析学生错误的原因，即读懂学生的错误，就显得格外的重要了。例如学生在学习了小数乘法这一内容后，在计算时，一名学生认为应该这样计算：
原因是小数点要对齐，直接“落下来”。很显然这样做的结果是错的，但直到下课这名学生仍然不清楚出错的原因。查看其他学生的作业纸结果发现，这样做的同学不在少数，可见这样的问题具有一定的普遍性。导致学生出错的原因是什么呢？
一、知识的角度
从知识的角度来说，由于小数加减法的运算与整数加减法的运算过程十分相似，学生在学习这部分知识时，一般不会出现什么困难。不同的是在运算时，要注意“小数点对齐”、“数位对齐”这样的问题。这也是教师在教授这部分知识时反复强调的。
以人教版小学数学教材为例，在四年级学习了小数加减法之后，五年级上册开始学习小数的乘法，为了能和学生已有的知识经验相联系，教师要表达的想法是将小数乘法转化为之前学过的整数乘法，将两个因数分别扩大了10倍：12.5×10=125，0.5×10=5，125×5= 25，若要使积的值不变，还要将积缩小100倍，结果是 25÷100= .25。看似理所应当的运算过程，在学生的头脑里似乎不是这么回事。在学习了小数加减法之后，“小数点对齐”、“数位对齐”的思想早已深入学生的认知，于是在学习小数乘法时，原有的经验对新知识的学习产生了重大影响，学生便会认为要像小数加减法那样，将小数点对齐，直接“落下来”。正如奥苏贝尔说的，“如果我不得不把教育心理学还原为一条原理的话，我将会说影响学习的唯一因素是学习者已经知道了什么”。[1]既然原有的知识会对学生的学习产生影响，那么这些影响又是从哪几方面产生的呢？
二、认知结构变量的角度
与学生原有知识密切相关的是他的认知结构，认知结构是指学生现有知识的数量、清晰度和组织结构，是由学生眼下能回想出的事实、概念、命题、理论等构成的。[2]奥苏贝尔将认知结构的“可利用性”、“可辨别性”、“稳定性和清晰性”称之为认知结构的三变量。
“可利用性”是指原有认知结构中有多少适当的对新知识起固定作用的观念可以利用。[3]这是对数学学习影响特别大的一个因素。
“可辨别性”是指新知识同原有认知结构中起固定作用的观念之间的可辨别性。即原有知识和新知识的异同点是否可以清晰的辨别。
“稳定性和清晰性”是指对已有知识的掌握程度，尤其是原有知识结构中，“固定观念”的掌握程度。
这三个变量会对学生新知识的学习产生一定影响，如果出现某些问题，学生就可能出现某些错误地认知和理解。因此，利用对认知结构变量的分析，可以帮助教师读懂学生的某些错误。下文将利用这一方式探究文章开头中出现的学生错误原因。
（一）认知结构的可利用性较低
小数的产生有两个前提：一是十进制记数法的使用；二是分数概念的完善。[4]因此，对小数乘法的理解依赖于对分数乘法的理解，特别是如果学生对分数、分数乘法的直观表征缺乏深刻的理解，那么对小数乘法运算就可能只是记住或者会使用法则，而对法则背后的东西，如运算的意义，知之甚少，即没有充分利用对新知识起固定作用的原有知识。学生认知结构的“可利用性”较低，学生就难以理解小数乘法的运算，那么直到下课，学生还是不明白自己运算的错误在哪，就不足为奇了。
（二）认知结的可辨别性较差
人在理解活动的过程中，有趋于简化的趋势。当新的学习内容与原有观念出现某些相似而又不完全相同的联系时，由于它们的可辨别性、可分离性比较差，新知识常常被理解为原有观念；或者学习者意识到新旧知识之间有些差别，但又雅法说明它们的差别在哪，这时，学习者便难以对新知识形成清晰的理解。在这个案例中学生的原有知识是小数的加减法，但因为学生没能较清晰的区分新知识与旧知识之间的差别，混淆了小数乘法与小数加减法的竖式运算，即认知结构的“可辨别性”较差，进行乘法运算时便出现仍套用小数加减法对齐小数点的运算法则的错误。
（三）认知结构的稳定性和清晰性较不足
在数学学习中，如果学生原有认知机构中的有关观念不稳定、不清晰，那么，这种认知结构就不能为新的学习提供适当的关系和强有力的固定作用。小数乘法的算法是利用乘法计算中的积与因数之间的变化规律（即“如果一个因数扩大若干倍，另一个因数不变，它们的积也扩大同数倍”、“如果一个因数扩大a倍，另一个因数扩大b倍，它们的积就扩大ab倍”），先将小数转化成整数，按照整数乘法的算法计算，最后将得数缩小相应的倍数。但这个规律是在小学三年级所学的内容，到了五年级再利用这一知识，某些学生很可能对这些原有知识的记忆模糊不清或忘记，那么就很难让学生利用这些原有知识去解决新的问题，从而出现各种错误。如在课堂中还发现有的同学在计算过程中将两个因数12.5和0.5都分别扩大了10倍，但结果只缩小了10倍，也是由于原有知识的稳定性和清晰性不足造成的。
根据以上的分析，可以看出学生的错误并不是用一句“马虎”和“粗心”可以概括的，必须要采用一定的理论来分析学生出现错误的原因，然后根据分析的结果“对症下药”，才能做到有效地教学。
三、小数乘法的教学策略
1. 回归原知识，“螺旋式”教学。S.Pirie和T.Kieren的数学理解发展模型指出，数学理解是一个进行中的、动态的、分水平的、非线性的认知发展过程，[ ]所以学生对数学概念的学习也是一个动态的过程，容易出现反复和困惑。尤其是小数的运算，它不同于之前一直学习的整数的运算，老师要有意识地带学生回顾原有的知识，并对新旧知识进行比较、区分，明晰两者的差别，深化理解。
2. 结合分数，表明意义。教材在介绍小数乘法的时候，往往先介绍乘数是整数的小数乘法。在这里小数乘以整数的意义与之前学过的整数乘法的意义是一样的，也是求几个相同加数和的简便运算。对于这一点，学生是比较容易理解的。但在之后介绍乘数是小数的乘法时，其意义与整数乘法的意义就不同了，是整数乘法意义的扩展，这对于学生来说是一个难点。教师可以通过连接分数与小数的关系解决这一难点，使学生初步理解一个数乘以0.5就是求这个数的十分之五，一个数乘以0.23就是求这个数的百分之二十三，这样才能在一定程度上正确理解小数乘法的运算，如一个数乘以小数，就是求这个数的十分之几，百分之几，千分之几……为新知识提供适当的固着观念。
3. 总结规律，解释道理。计算小数乘法时，要利用乘法计算中积与因数之间的变化规律，在进行教学前就要“激活”学生的已有观念。例如，可以先通过填表（见下表）或口算来帮助学生复习积的变化规律，使原有认知结构更加清晰和稳定，为学习小数乘法的算理和方法作必要的准备工作。
总之，作为一名教师，读懂学生是十分重要的，只有这样才能设计出符合学生认知特点及适应学生发展的教学活动。当教学活动结束时，学生的反馈就成为了检验教师教学活动恰当与否的要素之一，那么学生的错误必然就是教师进行教学反思和改进教学的宝贵资源，因此教师要善于利用这种资源，读懂学生的错误，更好地读懂学生。
注释：
]1[孔凡哲,数学学习心理学[M].北京:北京大学出版社,2009.
[2]陈琦,刘儒德.当代教育心理学[M].北京:北京师范大学出版社,2001.
[3]孔凡哲,数学学习心理学[M].北京:北京大学出版社,2009.
[4]谭青兰,袁箭卫.分数与小数的发展简史[J].湖南教育:数学教师,2008,(3):41-42.
[5]巩子坤,张奠宙.数学教学中记忆与理解关系的调查研究[J].中国教育学刊,2001(9):11-14.
[ ]S・Pirie＆T・Kieren. Growth in mathematical under- standing:How can we characterize it and how can we represent it[J].Educational Studies in Mathematics,1994(2 ):1 5-190.
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发表于 2020-7-28 09:36:46
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