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摘要：一元二次不等式是中专数学教学中的重点和难点问题，很多学生对此不能很好掌握，很有必要给予足够的重视及强化。本文主要就一元二次不等式的解法进行探讨，以作参考。
【关键词】：中专数学 一元二次不等式 解法 分类
一元二次不等式是中专数学教学及学生学习中的重点内容，同时也是教学及学习的难点，特别是对于求解含参数的一元二次不等式。再加上中专生的数学基础本来就不是很好，因而在涉及到一元二次不等式的教学过程中，老师在教学中教得很吃力，但效果却并不很好。针对此种情况，结合笔者自身在教学实践中的一些经验积累，对一元二次不等式的授课教案进行了一定的梳理及总结，愿意在这里与大家进行分享。
经过多年的教学实践，笔者发现在讲授中专数学中一元二次不等式问题时比较容易被中专学生接受的是采用“数形结合法”进行讲解，下面笔者重点来介绍如何用“数形结合法”进行一元二次不等式的求解。
我们知道，一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次不等式ax2+bx+c≥0(或ax2+bx+c≤0)有着非常紧密的联系，令y=ax2+bx+c(a≠0)，则有一元二次函数y=ax2+bx+c在y≥0或者y≤0时自变量x的取值范围，其实就是一元二次不等式ax2+bx+c≥0(或ax2+bx+c≤0)的解集。而一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)可以采用图像的形式直观表现出来，这样我们就可以通过图像巧妙直接地进行一元二次不等式ax2+bx+c≥0(或ax2+bx+c≤0)的求解。
图1一元二次函数图像
如上图1所示为一元二次函数y=ax2+bx+c(a≥0)的图像（其中x1及x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的两个解），对于a≤0的函数可以首先将其转化为该标准函数后再进行求解过程，或者直接采用a≤0的函数图象求解亦可。从上面的函数图象可以看到，当y≥0时，对应的x的取值范围为：x≤x1或x≥x2；当y≤0时，对应的x的取值范围为：x1≤x≤x2；而当y=0时，其实函数变为了以x为变量的一元二次方程，即ax2+bx+c=0，其解为x=x1，x2，见下表1。
表1一元二次函数中x与y的关系
图形位置 x轴上方部分 与x轴交点 x轴下方部分
y轴 y＞0 y=0 y＜0
x轴 x1的左边及x2的右边 x1及x2 x1与x2中间
在有了上述知识储备之后，我们可以进行一元二次不等式的求解了，下面通过几个算例来具体说明解法过程。
例1 求解不等式：x2+x-42≥0
解：令y=x2+x-42
求解y=x2+x-42=0可得：(x+1)(x- )=0故：x1=-1；x2=
通过一元二次函数y=x2+x-42的图像可以看出
要使y≥0，所对应的x的范围应该为：x≤1或x≥
不等式x2+x-42≥0的解集为：x≤1或x≥
例2 求解不等式：- x2-x+2≤0
该题目有两种方法求解，一种是先将此不等式转化为一元二次不等式的标准型，再按照标准型的求解办法求解；第二种方法是直接采用一元二次函数的数形结合法求解，更为简单便捷。下面分别采用上述的两种办法求解，比较优劣，读者可以自行选择适合自己的办法。
解法一：
先将不等式转化为标准型，即 x2+x-2≥0
因式分解为：（2x+1)(3x-1)≥0
令y=（2x+1)(3x-1)=0x1=-1/2x2=1/3
根据函数y=（2x+1)(3x-1)的图像可知，要使y≥0，则有x≤-1/2或x≥1/3
解法二：
令y=- x2-x+2
当y=0，即- x2-x+2=0时有：(2x-1)(3x+2)=0
可得：x1=1/2 x2=-1/3
由函数y=- x2-x+2的图像可以看出，要使y=- x2-x+2≤0
则有：x≤-1/2或x≥1/3
例3 求解关于x的不等式：x2-a(a+1) x+a3＞0
解：令y=x2-a(a+1) x+a3
当y=x2-a(a+1) x+a3=0时可得方程的解：x1=a2；x2=a
当a＞1或a＜0时，a2＞a，此时根据二次函数的图像可知，
上不等式的解集为：x＞a2或x＜a
当0＜a＜1时，a2＜a，此时根据二次函数的图像可知，
上不等式的解集为：x＜a2或x＞a
当a=0或a=1时，a2=a，此时根据二次函数的图像可知，
上不等式的解集为：a≠0且a≠1
例4 求解关于x的不等式x2+mx+1≤0 解：令y=x2+mx+1
取y=x2+mx+1=0，△=m2-4=(m+2)(m-2)，零点分别为-2，2
当m＜-2或m＞2时，△＞0，此时方程有两个不同的解，
x1= ，x2=
则有：
① 当m＜-2时，△＞0，根据函数图象可知不等式解集为：
≤x≤
②当m=-2时，△=0，根据函数图象可知不等式解集为{1}
③当-2＜m＜2时，△＜0，此时函数图象与x轴雅交点，不等式的解集为空集。
④当m=2时，△=0，根据函数图象可知不等式解集为{-1}
⑤当m＞2时，△＞0，根据函数图象可知不等式解集为：
≤x≤
综上所述，当m＜-2或m＞2时，不等式解集为：
{x| ≤x≤ }；
当-2＜m＜2时，不等式解集为空集；当m=-2时，解集为{1}；当m=2时，解集为{-1}。
参考文献：
[1] 宋稳尚.含参数的一元二次不等式的解法[J].理科爱好者,2005,(5).
[2] 张娟,杜以海.含字母参数的一元二次不等式的解法[J].数理化学习,2009,(4).
作者单位：营口市卫生学校
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发表于 2020-8-11 10:04:01
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