摘要:微积分的教学在高等数学中占有重要的地位,而其中的导数的概念理解显得尤为重要。本文从学生对于导数概念的理解、导数理解的评价以及教师对学生理解导数的影响因素三个方面进行了探讨。
关键词:微积分 导数 概念理解
DOI:10.39 9/j.issn.1 12-8289.2010.10.014
引言
微积分是继Euclid几何之后,数学中的一个最大的创造,它被誉为“人类精神的最高胜利”[1]。微积分的产生是寻求一系列实际生活与科学问题有关的雅穷小算法的结果,牛顿与莱布尼茨将个别的算法统一成两类互逆的基本运算:微分与积分。导数的概念是微积分的核心概念之一,因此,导数的教学定位以及如何进行导数的教与学成为数学教育工作者研究的一个重要课题。导数教学要教什么,怎样教?是采用直观教学还是形式教学?学生对于导数是怎样理解的?学生的数学活动与哪些高层次的数学思维有关?教师的导数教学如何组织和传授?等等。本文将从导数理解评价、学生对导数的理解以及教师对学生理解导数的影响因素三个方面进行探讨。
1导数理解的评价
对于数学理解可以分为显性理解和隐性理解,前者是指能够明确说出不同数学概念之间的联系并指出相关概念的知识群,后者是指尽管已经达到了概念的理解,但还不能清楚地对其加以解释和说明。因此,学习有不同的结果,那么对于学习的评价就需要不同的层次。在数学教学中,学生学习数学的结果不仅体现在学生是否掌握了数学的基本概念并能进行基本运算、解决简单的实际问题,而且也体现在学生的逻辑思维能力是否得到提升。因此,对于导数的学习,也需要从多个方面多个层次进行评价,只有这样才能了解他们是否理解了数学知识,对于促进学生的数学理解在数学教学中有着重要意义。
基于以上理解,并从评价理论出发,可以从多角度多方面对导数的理解进行划分。从知识结构上,可以将对于导数的理解可以分为导数的概念、导数的意义解释、导数计算、导函数和导数应用五个部分。从组织结构上分析,将倒数分为操作阶段、对象阶段、图式阶段和问题解决阶段;从关联程度分析,将其划分为单一结构水平、多元结构水平、关联水平和进一步抽象等四个水平;从表征方式老看,将导数划分为图像、数值和形式化的符号表征。只有清楚了评价的维度才能为实际的评价提供依据。在高等数学的教学中,对于导数的理解可以从学生习题解答的结果上面体现出来。习题虽不能全面的展示学生对于导数的理解程度,但是,这确不失为一种比较直观、较容易操作的关于概念掌握评的方式。只有在实际的运算以及操作的过程中,学生才能对概念、以及概念中隐含的因素进行深层次的理解。因此,对于学生对于概念的理解可以从简单应用过渡到复杂的综合运用,从而实现知识的理解层次。教学中不能仅停留在运算的初级阶段,应该注重学生对于概念的理解,并侧重于在实际中的应用能力。
2学生对导数的理解
项武义、张奠宙先生曾指出:“导数的教学可以把瞬时速度作为原始概念,作为导数教学的平台”[2]。在教学实践中,学生对于导数的理解程度可以从多个“速度”的描述进行分析。对于大学生而言,学生的逻辑思维走向成熟阶段,并已经逐渐摆脱具体事物的形式,想更高级的辩证思维形式发展,但是,他们对于运动辩证、对立统一的认识是非常朦胧的。学生对于瞬时速度的理解是比较清楚的,学生具有获得导数知识的经验基础,瞬时速度是一个从实践中产生的纯物理概念。导数的概念教学完全可以还原为牛顿的最初的目的,即确定变速运动的速度,也完全可以还原为莱布尼兹的最初目的,即定义切线的概念。但是两者并没有给出完全的形式化定义,更没有建立完整的极限理论。因此,学生完全可以以瞬时速度作为研究的认知基础,以完成对瞬时速度的精确化定义为问题解决的额目标,进而抽象出导数的本质属性。从学生情况来看,所有的学生基本上能够区分平均速度和瞬时速度,而学生对于瞬时速度概念的理解都是源自物理学。因此,瞬时速度是学生理解导数概念的经验基础,是实施导数概念教学的有效平台。在实际的教学中,可以从学生的前概念即瞬时速度入手,使得导数的引入存在一个最近发展区,这样有利于学生对于新知识的理解。知识不能脱离生活,学生的前概念大多是生活经验的积累。脱离学生的经验基础,直接从极限的定义入手进行导数教学,学生不但难以理解,也使得原本亲切的知识应用变为极为深雅宝题库交流究味浓厚的学术范畴,只能让学生望而却步,更谈不上理解以及应用。
此外,对于导数的学习,很多学生对于导数的应用随着学习的深入会有极大的上升空间。在对导数的概念理解后,随着知识的应用以及知识的后效型,对于导数的理解会越来越深刻。
3教师对学生理解导数的影响因素
在导数知识方面,教师对于导数的概念理解存在着很大的差异,而在导数的基本运算上面没有显著差别。对于新教师而言对于数学知识的理解主要停留在“算法”层面,如对于求解运算的技巧等较为注意。而有经验的专家型教师在导数概念的理解和问题解决能力方面教新教师有更为深刻的理解。在导数的教学中,新教师与专家教师对于数学的学科本质的认识存在着显著的差异。有经验的教师更倾向于问题解决的观点,而不是倾向于“掌握知识”的观点,问题解决的观点倾向于将数学问题的解决看作为猜想、论证以及解释的过程。而新教师的“掌握知识”的观点则认为做数学题目就应该按照特定的步骤,一步步得出答案的过程。
此外,作为教师而言,新教师与专家教师在将学科知识与学生思维相结合方面体现的比较明显。在判断与处理学生对于特定的概念的错误理解上新、老教师表现出明显的差异。新教师习惯于就题解答,从学生的错误结果出发,难以联系学生的新、旧知识之间的关系。而专家教师能够在学生已有的知识水平上了解学生错误概念的本质。显而易见,促进教师专业知识发展应该立足于教学实践。教师应该重视将学科知识与教学方法相联系,将教学内容作为教学专长的一个重要体现。教师对于课程的理解,不仅只立足于教师对学科知识的理解,还应该将特定的学科知识与学生的思维特点结合起来,促进教师的教学内容知识的发展。可以说教师自身对于导数的理解,直接决定了学生对于导数的学习,教师不仅要从知识本身入手,还要从学生的已有知识入手,脱离学生的理解谈教学是不切实际的。
4 结论
从以上讨论可知,学生对于导数概念的理解多来源于物理背景,而教师的教学观念以及教学行为在客观上影响以甚至制约着学生对于数学概念的理解。实际教学中,对于概念的评价多注重应用方面,而这种应用方面多停留在基于运算的初等层面。教师对于导数的概念教学追求严格的数学形式,学生所得到到的关于导数的概念都是现成的定义,学生心目中的微积分与现实生活没有关系。因此,教师在教学过程中,更应该重视知识结果产生的过程以及产生的意义,感悟数学的精神、思想以及方法。
参考文献:
[1]恩格斯.自然辩证法[M].北京:人民出版社.1911.244.
[2]张奠宙.教育数学是具有教形态的数学[J].数学教育学报.2005(8):1-4.
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发表于 2020-8-15 20:29:04
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