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引言 线性代数作为一门公共基础课，给人的感觉是概念较多，较抽象难以理解，另一方面，目前国内的独立院校不断地删减课时，用较少的课时把复杂的问题讲清楚、讲明白并能引起学生的兴趣就显的非常重要。这里我们重点介绍第三章“线性方程组与初等变换”一点教学心得。 一、整体思路 针对于本章概念较多、较抽象的特点，我们首先给出如下一个大纲 我们可以通过两条线索来讲解，一条是主线：求解线性方程AX=0，判定解得存在性，在有解且是多解的情况下，分析解的结构；另一条是辅线：借助矩阵这个工具求解线性方程，由此引出初等行变换的概念；要判别解的存在性，有必要引出矩阵秩的概念；要研究多解情况下解的结构，需要研究向量间的关系及向量组的极大雅关组。 二、概念的感性认识 矩阵的等价，矩阵的秩，向量的线性相关性，向量组的秩以及向量组的极大雅关组是本章中比较抽象的几个概念，大部分学生都会感到这几个词比较生僻，不像他们初高中所学的一些概念可以直接从字面意思上理解这个概念的意义。因此，我们可以在教学中把该概念的数学背景与生活中某些常识联系起来，这样学生首先就会从情理上接受这些概念。 （1）初等行变换以Guass消去法为数学背景，增广矩阵的每一行相当于一个方程，对增广矩阵求行变换，相当于对方程组消元，将增广矩阵变换成最简阶梯形矩阵，相当于用消元法求得最终的解。 （2）用Guass消去法求解线性方程组得到的前后两个方程组的解是相同的，以此为数学背景，那么初等行变换前后的增广矩阵所代表的解也是相同的，因此矩阵等价的深层意义在于表示相同的解。 （3）用Guass消去法求解线性方程组过程中，首先消去的是那些有线性关系的方程，剩余的则为线性雅关方程我们这里称之为有效方程，所以，对线性方程组的增广矩阵求秩，相当于求方程组中有效方程的个数；对向量组求秩，也就是求向量组中有效（雅关）向量的个数。另外，秩“rank”本身有“等级、级别”的意思，从而对矩阵、向量组求秩，也就是消去矩阵外表的装饰，找到矩阵、向量组本质的级别。 （4）线性相关从字面意思是：向量通过线性运算产生一定关系。好比自然中的各种千姿百态、争奇斗艳的生物，如果把向量看成各种物种的话，我们可以用以下感性的语言定义线性相关性：对部分物种，如果所需的生长元素相同，则认为这些物种生成相关，比如：大枣树和小枣树生长所需元素相同，则生成相关，大枣树和麻雀生长所需元素不同，则生成雅关。 （5）极大雅关组从字面意思是：向量组极大的一个线性雅关组，并且向量组中的任何向量都可由极大雅关组线性表出。好比所有的兔子都是由某类生长元素生成的，而该类生长元素中的各元素都是生成雅关的，则该类生长元素就为兔子的一个极大雅关组。 （ ）若向量组Ⅰ和Ⅱ可以相互表示出来，则称向量组Ⅰ和Ⅱ等价，好比某类生长元素可以生成桃树，也可以生成李树，则我们就称桃树、李树生成等价；所以向量组Ⅰ和Ⅱ等价的深层次意义在于生成向量组Ⅰ和Ⅱ的基本向量组相同。 三、概念的理性把握 线性相关、线性雅关是本章中较难理解的一个概念，而且判别准则比较多，我们可以让学生重点把握定义，通过定义分析、理解准则。 定义1 设有向量组a1,a2,…as，若存在一组不全为零的实数k1,k2,…ks，使得 k1a1+k2a2+…+ksa=0 （1） 则称向量组a1,a2,…as线性相关，否则称向量组a1,a2,…as线性雅关。 要把握以上定义，我们的入手点为“存在”，存在即可以找到、可以求出，于是只要求出齐次线性方程（1）的解，其中k1,k2,…ks为未知数。若求得k1=…=ks=0，则向量组a1,a2,…as线性雅关；若有多解，即存在一组不全为零的实数k1,k2,…k使得（1）式成立，则向量组a1,a2,…as线性相关； 四、解的判定定理的理解 定理1 线性方程Amxnxnx1=B有解的充分必要条件为： r(A)=r(A,B)=r，且当 我们可以理解为：当有效方程的个数 |
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发表于 2020-8-22 15:44:42
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发表于 2020-8-22 15:45:10
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