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笔者在长期的教学中发现：学生很惧怕做抽象函数的题目，因为抽象函数没有具体的解析式，学生不知道从哪里下手。其实，很多的抽象函数的‘原形’都是我们学过的基本函数，解题时，如果能从抽象函数的‘原形’入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比，联想它可能是某种基本函数，常可以寻得解题思路，下面举例说明。
一 一次函数型的抽象函数
例1已知函数f（x）对于任意x，y∈ R时，总有f（x）+ f（y）= f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=－2/3
（1） 判断f（x）的奇偶性
（2）求f（x）在[－3，3]上的最大值和最小值
分析：有题设可知，函数f（x）是y=kx（k≠0）的抽象函数，可以猜想是奇函数，要求函数最值，要研究函数的单调性。
解：（1）令x=y=0，∴f（0）=0，令x=－y可得f（－x）=－f（x），∴由定义知f（x）是奇函数
（2）在R上任取x1＞x2，则f（x1）－f（x2）= f（x1）+ f（－x2）= f（x1－x2）又∵x1＞x2，∴x1－x2＞0，又∵x＞0时，f（x）＜0，∴f（x1－x2）＜0既f（x1）－f（x2）＜0。由定义可知f（x）在R上是单调减函数。∴f（x）在[－3，3]上也是减函数。 ∴f（－3）最大，f（3）最小，∵f（3）= f（2）+ f（1）= f（1）＋f（1）+ f（1）=3 f（1）=－2，∴f（－3）=－f（3）=2，既f（x）在[－3，3]上最大值为2，最小值为－2。
二 指数函数型抽象函数
指数函数型抽象函数，既由指数函数抽象而得到的函数
例2 设函数f（x）定义在R上，对于任意实数m，n恒有f（m+n ）= f（m）f（n），且当x＞0时，1＞f（x）＞0，
（1） 求f（0）的值
（2） 求证：f（x）在R上单调减
分析；由题设可猜测f（x）是指数函数y=ax的抽象函数，从而猜测f（0）=1
解：（1）∵f（m+n ）= f（m）f（n）令m=1，n=0则f（1）= f（1）•f（0）且由x＞0时，0＜f（x）＜1，所以f（0）=1
（2）设x1＜x2，则x2－x1＞0，∴0＜f（x2－x1）＜1，所以f（x2）－f（x1）=f[（x2－x1）+x1]－f（x1）= f（x2－x1）f（x1）－f（x1）= f（x1）[f（x2－x1）－1]＜0，∴f（x）在R上是减函数
三 对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数
例3 定义域在（0，+∞）上的函数f（x），满足（1）f（2）=1；（2）f（xy）= f（x）+ f（y）；（3）当x＞y时，有f（x）＞f（y），若f（x）+ f（x－3）≤2，
（1） 求f（4）的值
（2） 求x的取值范围
分析：由题设可以猜想是对数函数y=log2x的抽象函数，f（4）=2
解：（1）由已知得：2=1+1= f（2）+ f（2）= f（2×2）= f（4），∴f（4）=2。
（2）∵f（x）+f（x－3）=f[x（x－3）]=f（x2－3x），又∵f（x）+ f（x－3）≤2，∴f（x2－3x）≤f（4），∵当x＞y时，有f（x）＞f（y），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数
x＞0
X－3＞0 解得x的取值范围为：（3，4]
X2－3x≤4
除以上三种常见抽象函数类型以外，还有其他类型的抽象函数，如三角函数型抽象函数，幂函数型抽象函数等，这里就不举例说明，只要掌握上述常见三种类型抽象函数的解法，其他类型的抽象函数问题就可以迎刃而解。
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发表于 2020-8-23 13:03:56
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发表于 2020-8-23 13:04:18
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