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内容提要 通过对我国传统数学的研究，可以发现数学的发生和发展与农业生产紧密相连。我国古代数学名著《九章算术》，可以说是我国古代农业生产生活的总结，全书收录的24 个问题，都是与农业生产、生活实践有联系的应用问题。
【关键词】 九章算术；古代数学；农业生产；关系
作者简介 李中恢(1955－)，男，江西宜春学院数学与计算机科学学院副教授。(江西宜春33 000)
通过对我国传统数学的研究，可以发现数学的发生和发展与农业生产紧密相连，这再一次证实了恩格斯的名言：“和其他一切科学一样，数学是从丈量土地和测量容积，从计算时间和制造器皿产生的。”希腊数学专著，侧重理论，有的甚至不讲实际，欧几里德《几何原本》就是一个典型。我国古典数学著作，则是结合实际来编写数学书，应该说这是我国传统数学的一大特色。我国古代数学名著《九章算术》可以说是我国古代农业生产生活的总结，所有知识都来自于农业生产的实践，来自于农业生活中的应用。
《九章算术》在中国古代数学发展过程中占有非常重要的地位，它经过许多人整理而成，作者不详，大约成书于东汉初期。该书内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有24 个与生产、生活实践有联系的应用问题。其中每道题有问(题目)、答(答案)、术(解题的步骤，但没有证明)，有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章。以下依次对该书九章作一简介。
一、《九章算术》的内容
1 第一章是方田章
方田章提出了各种多边形、圆、弓形等的面积公式；分数的通分、约分和加减乘除四则运算的完整法则。方田中的“方”就是正方形或长方形，“田”就是田地，“方田”就是正方形的田地或长方形的田地。实际上，在这里可理解为正方形或长方形。方田章共有三十八题，作者意图要通过求长方形面积以总结出乘法运算法则，由简而繁，逐渐加深乘法运算难度。其中第1至第4题是自然数乘法，先从特殊例子入手。如第2题，已知广、纵(长、宽)从图形面积答数，再归结出自然数乘法规则：“广纵相乘得积步”，各为方田术，而第19至第21题是真分数乘法，也从特殊例子入手，后归结出真分数乘法规则，名为乘分术。第22至24题是带分数乘法，从特殊例子归结出：“分母各乘其全，分子从之，相乘为实，分母相乘为法，实如法而一。”名为大广田术。
2 第二章是粟米章
李籍《音义》说：“粟者，禾之未春。米者，谷实之雅壳。粟者，米之率也。诸米不等，以粟为率，故日粟米。”简章地说，该章就是谷物粮食按比例交换的计算术汇编。由于这种比例算法是根据“今有”数据推算的，所以该章的算法又称为“今有术”。
3 第三章是衰分章，“衰分”就是按照一定比率分配的意思
李籍《音义》说：“衰，差也。以差为平分，故日衰分。”该章是比例分配问题，称为衰分术。衰分章很多来自农业生产中发生的问题，例如第18题：“今有田一亩，收粟六升太半升，今有田一顷二十六亩一百五十九(方)步，问粟几何。”
今有术，衰分术及其应用方法，构成了包括现在所述的正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。
4 第四章是少广章
李籍《音义》说：“广少，从多，截从之多，益广之少，故日少广。”此章实际上是已知面积、体积，求其一边长或径长等。
5 第五章是商功章
“商功”就是推算各种工程和体积的算法。如李籍《音义》说：“商，度也。以度其功庸，故日商功。”商功章大多是各种挖土、填土土方、粮食容积计算问题。题中有城、垣、堤、沟等土木工程名称和不同土壤如土壤、坚土、墟土有一定折算比率，四季工作效率不同，规定冬日出土每人每天四百四十四(立方)尺，而春日为七百六十六(立方)尺。
第六章是均输章
该章就是合理摊派赋税，讨论运输中合理分配劳动力问题。就算法而论，即是配分比例。《后书》称：“武帝时所谓均输制也。”汉武帝元封六年(公元前110年)根据桑弘羊的建议实行均输制。均输制就是按人口多少、路途远近、谷物贵贱平均交纳赋税或摊派徭役的制度。
1 第七章是盈不足章
李籍《音义》说：“盈者，满也。不足者，虚也。满虚相推，以求其适，故日盈不足。”一般算术题，都有一个确切答数。如果任取一数设作答数，依题核算、若结果合问，所设之数即是答数；若不合问，与已知数相比较，不是盈余便是不足。通过这样两次假设，即得两个盈余或不足；这样的算术题就可变为盈不足问题。为此，一般称盈不足术为双设法，现在称弦位法。
简单地说，该章提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。
8 第八章是方程章
方程章都是以粮食、牲口数据入题。该章采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致，这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。该章共有十八题，作者在安排前后次序上是经过深思熟虑的。第1、2两题方程的系数全是自然数，运算中间过程、以至最后，自然数已够用。第3题在运算中出现负数。第4至第8题中间过程出现零以及负数。第10、11两问题出现分数。第14至第11题方程组多至四元，最后一题则为五元方程组。
9 第九章是勾股章
我国古代称直角三角形短直角边为“勾”，长直角边为“股”，斜边为“弦”。该章反映的农业生产问题更多，都是用“勾股定理”求解各种农业生产、生活中的问题。
二、我国古代数学与农业生产的关系
春秋、战国时期社会生产力的逐渐提高，促进了数学知识和计算技能的发展。当时各国的统治阶级要按亩收税，必须有测量土地、计算面积的方法；要储备粮食，必须有计算仓库容积的方法；要修建灌溉渠道、治河堤防和其他土木工事，必须能计算工程人功；要修订一个适合农业生产的历法，必须能运用有关的天文数据。那时的百姓掌握了相当丰富的、由日常生活中产生的数学知识和计算技能。虽然没有一本先秦的数学书流传到后世，但雅可怀疑的是九章算术方田、粟米、衰分、少广、商功等章中的题解方法，绝大部分是产生于秦以前的。汉书艺文志术数类着录有许商算术二十六卷，杜忠算术十六卷，这两部算术虽早已失传，应该是东汉初编纂的九章算术的前身，它们的主要教材应当被保存于九章算术各章之内。
历史上任何重要的数学思想与方法都不可能是“雅源之水，雅本之术”，而总有其产生的实际背景和理论渊源的。《九章算术》中的题目都与农业生产、生活有关。请看方程章的第一题：
例1 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，上、中下禾一秉各几何?
今译：现在有上等禾三捆，中等禾二捆，下等禾一捆，共能打黍米三十九斗；若为上等禾二捆，中等禾三捆，下等禾一捆，共能打黍米三十四斗；若上等禾一捆，中等禾二捆，下等禾三捆，共能打黍米二十六斗。问上、中、下禾每捆能打黍米多少斗?
又如盈不足章，是专门讨论算术中的盈亏问题，它的算法十分简便有趣，而且理论完全正确，是我国古代在算术方面的一项创造。请见该章的第一题：
例2 今有共买物，人出八盈三，人出七不足四，问人数、物价各几何?
今译：现有若干人一同去买一件东西，如果每人出钱八枚，则多了三枚，如果每人出钱七枚，则还差四枚，问人数和这件东西的价钱各是多少?
这本来是一个算术中的应用题，如果只允许用算术方法去解，是一时难以解答的。如果用二元一次方程组来解，则比较容易，但是在当时还没有先设未知数，再利用等量关系来列方程的办法。一切都是用筹算来处理的，可以想象，如果我们不用列方程的方法，今天对这类问题，仍会感到很棘手。可是在《九章算术》的盈不足中，作出了一般性的解法，这是非常难能可贵的。
《九章算术》这本中国古代数学专著，以杰出的数学成就，独特的数学体系。不仅对东方数学，而且对整个世界数学的发展产生了深远的影响，在科学史上占有极为重要的地位。它的出现，标志着从公元前1世纪开始，中国取代古希腊成为世界数学的中心，为此后中国数学领先世界1500多年奠定了基础。即使是在今天，随着计算机的出现和发展，它所蕴含的算法和程序化思想，仍给数学家以启迪。
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发表于 2020-8-30 14:11:54
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