几类生态和经济动力系统的分岔、混沌和控制研究

admin · 发表于前天 18:45

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在现代科技各领域的实际题目中，普遍存在着状态的突然变化。这种瞬间突变现象称之为脉冲现象，其数学模型归结为脉冲微分方程。脉冲微分方程最突出的特点是能够充分考虑到瞬时突变现象对于事物的状态所产生的影响，从而能够更深刻更精确地反映事物的发展和变化的规律。本文从种群生态学的实际控制题目中抽象出了四种不同的脉冲微分动力学模型，应用非线性动力系统定性分析、离散动力系统的分岔和混沌理论、脉冲微分方程稳定性理论，从理论分析和数值模拟方面研究了各系统的动力学性质。本文还对一类非线性Coumot双寡头博弈的离散动力系统进行了改进，进一步研究了其复杂的动力学行为及其混沌控制技术。全文共分为五章：第一章介绍本论文的研究目的及意义、国内外脉冲微分方程及脉冲控制的研究现状、本文的主要工作内容。第二章介绍脉冲微分动力系统的基本理论、离散动力系统的分岔理论、脉冲控制理论以及周期脉冲微分方程的Floquet理论。第三章讨论两个固定时刻的脉冲微分方程的渐近性态。第一个题目是讨论一个出现Hopf 型极限环和“螺旋混沌现象”的三维生态系统，设计一个可行的脉冲控制方案以期改变原非线性系统的分岔及混沌特性，并实现所期望的动力学行为（即希望相互作用的物种趋于平衡位置），获得脉冲控制时间间隔的上界估计值，并给出合理的生态解释。所得结论是，当原系统的解有界时，总是可以设置一个相应的脉冲控制使其稳定到相应的平衡点，从而有效地阻止分岔和混沌的发生。第二个题目是具有脉冲免疫接种的SIR模型，应用Floquet定理和脉冲微分方程的比较定理证明其边界周期解的渐近稳定性，数值模拟表明当稳定性条件不成立时系统分岔出稳定的正周期解。第四章考虑两个类型的脉冲自治微分方程。一类是相应的脉冲微分方程无法求解的Lotka-Volterra捕食系统，其中捕食者种群为密度制约的情形。文中利用边界周期解的性质及定性理论，将边界周期解的分岔题目转化为一个一维的离散动力系统，从而得出正周期解的存在与稳定性充分条件，并用数值结果加以验证。理论研究表明，从边界周期解到正周期解的分岔是通过跨临界分岔获得而不是通常的切分岔。数值模拟表明，随着控制参数的变化，正周期-1解通过倍周期分岔出正周期-2解，再通过一系列倍周期分岔通向混沌。作为这类题目研究的补充，本章考虑的另一类型是可以求解的具状态依赖脉冲效应和食饵依赖的消化模型，应用LambertW-函数具体求出离散映射的解析表达式，其优势是能够得到更完整的理论结果。文中通过理论分析的方法，详细地讨论出系统存在跨临界分岔和倍周期分岔的充分条件，并给出发生这些分岔的具体位置。最后用数值结果加以验证。第五章研究了一个非线性Coumot双寡头博弈的离散动力系统。在假定两个寡头分别具有有限理性的和适应性预期并使用非线性成本函数和线性需求函数条件下，对系统的Nash均衡的稳定性条件进行研究。通过数值模拟展现了该模型复杂的动力学行为，比如分岔、混沌状态和奇怪吸引子等。此外，根据模型的一些基本特征，将延时反馈控制方法应用到企业的生产和相应的模型的边际成本上，模拟两个企业的产量的演变过程以及在有控制的状态下的离散动态系统的轨迹的动力学行为，并比较在有控制状态下和无控制状态下阐述控制方法的有效性。

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